Dérivée et sens de variation

Théorème

La fonction \(\ln\)  est dérivable sur \(]0\ ; +\infty[\)  et, pour tout réel  \(x\)  strictement positif, on a \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\) .

Démonstration

On admet que la fonction \(\ln\)  est dérivable sur \(]0 \ ;+\infty[\) .
Pour tout réel \(x>0,\ \text{e}^{\ln(x)}=x\) . (*)
\(x \mapsto \text{e}^{\ln(x)}\)  est la composée de \(u\)  par \(v\)  avec \(u(x)=\ln(x)\)  et \(v(x)=\text{e}^x\) .
On rappelle que \((v \circ u)^{\prime}=u^{\prime} \times (v^{\prime} \circ u)\) .
En dérivant chaque membre de l'égalité (*), on obtient \(\ln'(x)\text{e}^{\ln(x)}=1\) .
Ainsi \(\ln'(x) \times x=1\)  et donc \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\) .

Propriété

La fonction \(\ln\)  est strictement croissante sur \(]0\ ;+\infty[\) .

Démonstration

La fonction \(\ln\)  est dérivable sur \(]0\ ;+\infty[\)  et, pour tout réel  \(x\)  strictement positif, on a \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\) .
Pour tout réel  \(x\)  strictement positif,  \(\dfrac{1}{x}>0\)  donc la fonction \(\ln\)  est strictement croissante sur   \(]0\ ;+\infty[\) .